更多的组合逻辑

Bubble Pushing

CMOS 逻辑门是内生反相的，AND 和 OR 功能必须由 NAND 或 NOR 门来实现。利用 De Morgan 定律实现这种转换，在电路图上的反映被称为气泡推拉（bubble pushing）。

一次转换：气泡从输入/输出，门从 AND/OR；$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}, \overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}$。

复合门

上例中，$F=\overline{AB+CD}$ 采取的是 NAND solution。若最大输入电容为 16，负载电容为 160，有：

• 寄生电容 $P=2+2=4$
• 逻辑努力 $G=(4/3)\cdot(4/3)=16/9$
• 电气努力 $H=160/16=10$
• $F=GH=160/9$
• 最佳级努力 $\hat{f}=\sqrt[N]{F}=4.2$
• 延迟 $P=N\hat{f}+P=12.4\tau$

AND-OR-INVERT-22（AOI22）采取的则是复合设计 compound solution：

• 寄生电容 $P=4+1=5$
• 逻辑努力 $G=(6/3)\cdot(1)=2$（$P,G$ 均可见下图分析）
• $F=GH=20$
• 最佳级努力 $\hat{f}=\sqrt[N]{F}=4.5$
• 延迟 $P=N\hat{f}+P=14\tau$

复合门将多个基本逻辑门打包成一个功能单元，减少电路级数。

输入顺序

Input Ordering

定义外部输入（outer input）为靠近电源轨的输入端，内部输入（inner input）为靠近输出的输入端。当内部输入最后跳变时，寄生延迟最小，因为中间节点已提前完成放电。因此，若已知某信号比其他信号到达得晚，则将该信号连接到内部输入端时，门的速度最快。

再谈偏斜门

高偏（HI-skewed）门 pMOS 端电阻更小，偏好输出上升沿（rising edge）；低偏（LO-skewed）门 nMOS 端电阻更小，偏好输出下降沿（falling edge）。

根据该定义，求某偏斜门的逻辑努力：

• 上升沿 $g_u$：取一个与待求门 pMOS 端等效电阻相同的无偏反相器，计算输入电容之比
• 下降沿 $g_d$：取一个与待求门 nMOS 端等效电阻相同的无偏反相器，计算输入电容之比

动态逻辑与多米诺门

动态电路（dynamic circuits）：利用时钟控制的上拉 pMOS，通过预充电（precharge）与求值（evaluate）两个阶段交替工作来实现逻辑功能的电路。

时钟信号 $\phi$ 初始为 0，动态电路预充电将输出电平拉高；$\phi$ 变为 1，动态电路进入求值阶段，对输入 $A$ 进行求值。若输入为真，输出电平被拉低；反之保持高。

问题一：预充电阶段，时钟信号与输入信号双高导致争用（contention）。

解决方法是引入 foot：一个串联在 nMOS 下拉网络底部的时钟控制晶体管，在预充电阶段阻断输入信号与地线。

问题二：输入的单调性（monotonicity）。在求值阶段，输入单调不降，输出单调不增；这使得一个（输出为 $1\to 0$ 的）动态电路无法驱动另一个动态电路。

• 输入 $X$ 从 $0\to 0$：输出 $Y$ 从 $1\to 1$
• 输入 $X$ 从 $0\to 1$：输出 $Y$ 从 $1\to 0$
• 输入 $X$ 从 $1\to 1$：输出 $Y$ 从 $0\to 0$
• 输入 $X$ 从 $1\to 0$：求值阶段时钟信号阻断了电源轨，输出 $Y$ 无法从 $0$ 拉到 $1$

解决方法是多米诺门（domino gate），即一个动态电路后接一个静态的反相器；一对动态电路/静态反相器被称为一个多米诺门。在求值阶段，多米诺门的输入与输出均是单调不降的；所以一个多米诺门可以驱动另一个多米诺门。

• 一系列级联的多米诺门并行 parallel 预充电（受同一时钟信号控制），相继 sequential 求值（前门的输出是后门的输入）；是不是很像多米诺骨牌纷纷倒下？
• 求值阶段比预充电阶段更 critical（是延迟的 bottleneck）
• 静态反相器通常是 HI-skewed 的，能够将动态电路单调不增的输出拉高成单调不降

问题三：在求值阶段，多米诺门的输入与输出均为单调不降的；所以它天然的适合实现非反相函数如 AND，OR；对于反相函数（inverting functions：输入增，输出降）如 NAND，NOR 与 XOR，它就束手无策了。

解决方法：双轨多米诺（dual-rail domino）。一个逻辑信号 $X$ 用两根线表示，$X_h=1$ 表示 $X=1$，$X_l=1$ 表示 $X=0$。

输出信号 $Y$ 同时被 $Y_l$ 与 $Y_h$ 表示。预充电阶段两者均为 0，$Y_h=1$ 表示 $Y=1$，$Y_l=1$ 表示 $Y=0$。正常工作时两者不应同时为 1。这样，即使对于 NAND, NOR 与 XOR 这样的反相函数，也能做到求值阶段每根线上均单调不降。

其实就是把 conduction complements 引入了 nMOS 网络。对于函数 $F(A,B)$，$Y_h$ 端用 $A_h, B_h$ 拼出 $F$，$Y_l$ 端用 $A_l, B_l$ 拼出 $\overline{F}$。

XOR 在 $Y_l, Y_h$ 路径上共用了晶体管，显得有点难以理解。

• $Y_h=B_hA_l+B_lA_h=B\overline{A}+\overline{B}A=A\text{ XOR } B$
• $Y_l=B_lA_l+B_hA_h=\overline{B}\cdot\overline{A}+BA=A\text{ XNOR }B$

问题四：泄露（leakage）。预充电阶段 $Y$ 被时钟信号拉到高电平；到了求值阶段，若 nMOS 没有导通，$Y$ 会处在悬空高电平（floating high）状态。但由于晶体管泄露（亚阈值，栅，结泄露等），高电平会慢慢流失。

解决方法是引入保持器（keeper），一个足够弱的 pMOS 晶体管。当 nMOS 导通时不会强到影响求值，nMOS 关断时足够「吊着」高电平。

问题五：电荷共享（charge sharing）。求值阶段，内部节点可能分走高电平。若内部扩散电容 $C_x$ 过大，输出电平甚至可能被拉低到 0。

$$V_{\text{final}}=\frac{C_Y}{C_x+C_Y}V_{DD}$$

解决方法：引入二级预充晶体管（secondary precharge transistor）在预充电阶段也拉高内部节点的电平。增大输出端电容 $C_Y$ 也是一个有效的方法。

多米诺门总结：

• 只有 nMOS 求值网络 critical，比静态 CMOS 快 1.3-2 倍，适于做高速电路
• 噪声敏感，高能耗
• 90 年代流行（以复杂设计换速度），现已被静态 CMOS 取代（能耗成为第一约束）

传输晶体管逻辑

在传输晶体管电路（pass transistor circuits）中，输入不单止加在栅极端，也会加在源/漏扩散端。一个典型例子见 CMOS 逻辑一节中的传输门（transmission gate）。

• CMOS 与传输门混合使用：MUX，latch
• 互补传输晶体管逻辑（CPL）：全加器
• LEAn integration with Pass transistors（LEAP）

LEAP 属于单端逻辑电路，只使用速度较快的 nMOS 晶体管，不需要 pMOS 互补网络。

• 左侧：仅由 nMOS 构成，单端逻辑
• nMOS 传 0 强 1 弱。若传 1，只能升到约 $V_{DD}-V_t$。restoring 逻辑：接一个 LO-skew 反相器，翻转阈值 $V_{inv}$ 较低，从而能够把弱 1 翻转过来。之后的弱 pMOS 反馈回路激活，把弱 1 拉高成满摆幅强 1（fully high）。

传输晶体管逻辑易出现电平退化，因此通常需要接 restoring 门。