运算放大器

作为放大器的反相器

NMOS CS 与 PMOS CS 拼起来就形成了反相器放大器。为使 NMOS 与 PMOS 均处于饱和状态，反相器一定处于翻转区即 $V_{GS}=V_{DD}/2$。

推导一下它的 $g_m, r_o, A$：

$v_{in}$ 增大时，NMOS 与 PMOS 作用方向一致，均把 $v_{out}$ 向下拉，所以有 $g_m=g_{mn}+g_{mp}$；从 $v_{out}$ 看过来，$R_{out}=r_{on}//r_{op}//R_L$。为方便，令 $g_{mn}=g_{mp}=g_m, r_{on}=r_{op}=r_o<<R_L$，则：

$$g_m=\beta(V_{GS}-V_T), r_o = \frac{1}{\lambda I_{DS}}=\frac{1}{\frac{\lambda\beta}{2}(V_{GS}-V_T)^2}$$

所以:

$$A=-(g_{mn}+g_{mp})(r_{on}//r_{op}//R_L)\approx -g_m r_o=-\frac{1}{\frac{\lambda}{2}(V_{GS}-V_T)}=\frac{-4}{\lambda(V_{DD}-2V_T)}$$

电流镜

电流镜（current mirror）的作用是，给定一个参考电流 $I_{in}$，就产生一个相同或等比例放大的输出电流 $I_{out}$。

左边的 MOS 是 diode-connected 的，其输入电流 $I_{in}$ 自动决定两 MOS 共用的 $V_{GS}$，所以右边也会产生近似相同的 $I_{out}$。

为使右边的 $I_{out}$ 更近似于一个理想的稳定电流源，就要尽量减少输出电导 $g_{ds}$ 对其的影响。所以输出阻抗 $R_{out}=1/g_{ds}$ 越高越好。

共源共栅电流镜（cascoded current mirror） [图见 Lecture 11 pp.14]

从 $V_{out}$ 看 N4，这就是一个源极退化的 MOS 输出电阻问题。根据上一节中推出的结论，$R_{out}=r_{o4}+r_{o2}+g_{m4}r_{o4}r_{o2}$，远大于普通电流镜的输出电阻 $r_{o2}$。

差分对

根据两输入之间的差值 $\Delta V=V_1-V_2$ 分配固定的参考电流 $I_{ref}$。对共模噪声（common-mode noise）不敏感，若 $V_1$ 与 $V_2$ 同时上升或下降，差值不变，分配的电流也不变。

定义过驱动电压（overdrive voltage）$V_{go}=V_{GS}-V_T$，其与 $I_{ds}$ 的关系用一个更一般的 $\alpha$-law 概括：$I_{ds}=kV_{go}^{\alpha}$（当 $\alpha=2$ 时有 $I_{ds}=\beta V_{go}^2/2$）。

当 $V_1=V_2=V_{go}$ 时，两侧均拿到 $I_{ref}/2$。

现在假设 $V_1$ 增加至 $V_{go}(1+\delta_1)$，拿到 $x I_{ref}$；$V_2$ 下降至 $V_{go}(1-\delta_2)$，拿到 $(1-x) I_{ref}$，则此时 $\Delta V$ 为：

$$\begin{aligned} xI_{ref}&=k[V_{go}(1+\delta_1)]^{\alpha} \Rightarrow \delta_1=(2x)^{1/\alpha}-1 \\ (1-x)I_{ref}&= k[V_{go}(1-\delta_2)]^{\alpha} \Rightarrow \delta_2=1-(2(1-x))^{1/\alpha} \\ \Delta V&=(\delta_1+\delta_2)V_{go}=[(2x)^{1/\alpha}-(2(1-x))^{1/\alpha}]V_{go} \end{aligned}$$

$\alpha$ 越接近 2，$x=I_1/I_{ref}$ 就越大。若一侧的 MOS 将 $v_{gs}$ 增至 $2V_{go}$，另一侧降至 $0$，则前者将获得所有的 $I_{ref}$。

在 $x=0.5$ 即 $\Delta V=0$ 处做小信号化，有 $g_m=\alpha I_{ref}/2V_{go}$。

增益 $A=V_o/\Delta V=g_m(R_L//r_o)$。

简单 CMOS 运算放大器

运算放大器（operational amplifier，opamp）是一种高增益差分电压放大器。

R 和 N3 是偏置电路，在这里提供一个偏置电压 $V_{bias}$ 和电流 $I_{bias}$；这个偏置电压通过电流镜送给 N4 和 N5，使它们作为电流源工作。输入级 N1，N2 是差分对，它们共用下方的尾电流源 N4，把输入电压之差 $\Delta V=V_1-V_2$ 转化为电流差。上方的 P1，P2 是 PMOS 电流镜负载，把差分对产生的电流变化转化为一个单端电压节点 $V_y$，同时提供高输出阻抗，增加第一级的增益。右边的 P3，N5 构成第二级放大器，$V_y$ 控制 P3 产生输出 $V_o$。

整个 opamp 的增益可视为两级的增益之积 $A=v_o/\Delta V=A_{diff}\times A_{amp}$

其中 $A_{diff}=g_{mn2}(r_{on2}//r_{op2})$（$V_y$ 从 P2 与 N2 的漏极出去），$A_{amp}=g_{mp3}(r_{op3}//r_{on5})$（注意这里不是 source degeneration，N5 在放大管 P3 的漏极端，所以是 load）。